KINEMATIKA

BAB 3   KINEMATIKA I : PERUMUSAN UMUM

Bagian ilmu fisika yang mempelajari gerak benda dan pengaruh lingkungan terhadap gerak benda disebut mekanika. Bagian dari mekanika yang mempelajari gerak benda tanpa memperdulikan penyebab gerak atau bagaimana lingkungan mempengaruhi gerak tersebut disebut kinematika. Bagian yang mempelajari bagaimana pengaruh lingkungan terhadap gerak disebut dinamika.

3.1 KINEMATIKA PARTIKEL (BENDA TITIK)

Yang dimaksud dengan benda titik atau partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan terhadap skala ukuran lain yang terlihat dalam pembahasan. Misalnya, dalam meninjau gerak benda langit, bumi dapat dianggap sebagai benda titik karena ukurannya jauh lebih kecil daripada ukuran orbitnya. Gerak benda yang bukan titik dapat pula dipandang sebagai gerak benda titik asalkan benda secara keseluruhan hanya bergerak translasi saja. Setiap titik pada benda akan mengalami pergerakan yang serupa, karena itu gerak benda secara keseluruhan dapat diwakili oleh gerak salah satu titiknya saja.

3.2    POSISI DAN PERPINDAHAN

Letak sebuah partikel P dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi  yang ditarik dari suatu titik acuan O ke partikel tersebut (gambar 3.1 a). Bila di titik acuan I kita buatkan sebuah sistem koordinat (xyz), maka vektor posisi ini dapat dituliskan dalam komponen-komponennya,

                                                                                                          (3-1a)

Komponen vektor posisi sering disebut sebagai koordinat

                                                                                                       2

                                                                              z               

                        z                                                                                       

                                                                                           

                                                                                                          P

                                             P                                                         1

                                   

                          0                                         y             0                                  y

x

                                  (a)                                                          (b)

x

                                   

Gambar 3.1   Posisi dan perpindahan

Bila pertikel bergerak, posisinya berubah terus terhadap waktu. Jadi partikel yang bergerak memiliki vektor posisi yang merupakan fungsi waktu, demikian juga komponen-komponennya.

                                                                                  (3-1b)

Misalkan pada saat t₁ partikel berada di titik 1 dengan vektor posisi , dan pada saat t₂ di titik 2 dengan vektor posisi . Perpindahan partikel dalam selang waktu ini dinyatakan dengan sebuah vektor  dari titik 1 ke titik 2 (Gambar 3.1b). Vektor  ini disebut vektor perpindahan atau displacement. Dari gambar, dengan aljabar vektor, dapat ditulis :

                       

                              =

Vektor perpindahan ini tidak menceritakan gerak benda sesungguhnya; vektor ini hanya menyatakan hasil akhir perpindahan benda secara keseluruhan.

3.3    KECEPATAN RATA-RATA DAN KECEPATAN SESAAT

Vektor perpindahan juga tidak menceritakan berapa cepat benda berpindah dari titik 1 ke titik 2. Untuk melihat kecepatan berpindahnya benda, kita harus membandingkan vektor perpindahan dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut. Hasil perbandingan ini disebut kecepatan rata-rata () atau ,

                                                                                                      (3-3a)

Atau dalam komponen

                       

                               =                                                (3-3b)

Kecepatan ini disebut kecepatan rata-rata karena tidak menggambarkan kecepatan benda yang sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut.

Perlu diperhatikan bahwa kecepatan rata-rata adalah besaran vektor, karena perpindahan  adalah vektor. Benda yang beranjak dari sebuah titik dan setelah beberapa saat akhirnya kembali ke titik semula memiliki vektor perpindahan sama dengan nol, jadi juga kecepatan rata-ratanya sama dengan nol.

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih rinci mengenai gerak benda, kita harus meninjaunya dalam selang yang lebih kecil. Makin kecil selang ditinjau, makin teliti gambaran yang diperoleh. Dalam gambar 3.2a tampak bahwa bila selang waktu pengamatan dibuat kecil-kecil, maka kumpulan vektor perpindahan mendekati lintasan benda yang sesungguhnya.

                                      2                                                           2      

                        z                                                          z

 

                                                                                                 

                                                                                                               

                                         

                                                          y                                                           y

                 x                                                          x

                                         lintasan       (a)                                                        (b)

             sesungguhnya

Gambar 3.2. (a) Peninjauan dalam selang yang kecil-kecil memberikan gambaran yang

                     lebih teliti, (b) Dalam limit  menuju nol, titik 2 mendekati titik 1 dan

                     vektor  mendekati vektor singgung di titik 1.

Untuk selang waktu yang sangat kecil (→ 0) maka vektor perpindahan  mendekati garis singgung lintasan seperti ditunjukkan dalam gambar 3.2b. Panjang vektor  menjadi sangat kecil, tetapi perbandingan /  belum tentu kecil. Perbandingan ini menyatakan kecepatan rata-rata di suatu daerah kecil di sekitar titik 1. Dalam limit  menuju nol, kecepatan rata-rata ini praktis menjadi kecepatan sesaat di titik 1 dan arahnya menyinggung kurva lintasan. Karena itu didefinisikanlah kecepatan sesaat  di sebuah titik sebagai :

                                 

                                                                                                                    (3-4)

Dalam pengertian matematik, ruas kanan tidak lain daripada turunan fungsi terhadap waktu dan dapat dituliskan sebagai :

                                                                                           (3-5)

Kecepatan sesaat ini benar-benar menunjukkan keadaan gerak di sebuah titik (sifat lokal), bukan lagi rata-rata dalam suatu selang (sifat global). Karena vektor posisi merupakan fungsi waktu, , maka pada umumnya kecepatan sesaat juga merupakan fungsi waktu, dan tentu saja merupakan vektor juga. Untuk selanjutnya kecepatan sesaat hanya akan disebut kecepatan (velocity) saja.

Besar atau panjang kecepatan (sesaat) disebut laju (speed). Menurut teori vektor

                                 

                                                                                           (3-6)

Perlu ditekankan di sini bahwa laju tidaklah sama dengan kecepatan. Kecepatan adalah besaran vektor, jadi mempunyai besar dan arah, sedangkan laju adalah besaran skalar, tidak mempunyai arah.

Satu besaran lain yang sering dipakai adalah laju rata-rata <v>. Besaran ini bukan besar kecepatan rata-rata, melainkan didefinisikan sebagai :

                                                                  (3-7)

Jadi sebuah benda yang bergerak melingkar satu putaran penuh dengan jari-jari R dalam waktu T memiliki laju rata-rata , sedangkan kecepatan rata-ratanya sama dengan nol.

Satuan untuk kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat dan laju adalah panjang/waktu, yaitu ms^-1

3.4. PERCEPATAN RATA-RATA DAN PERCEPATAN SESAAT

Benda yang bergerak dengan kecepatan berubah disebut mengalami percepatan, lepas dari pengertian apakah geraknya bertambah cepat atau bertambah lambat. Karena kecepatan besaran vektor, maka perubahan kecepatan dapat menyangkut perubahan besar kecepatan (laju), perubahan arah kecepatan, ataupun kedua-duanya.

Percepatan adalah ukuran cepat-lambatnya perubahan kecepatan. Seperti halnya kecepatan, kita dapat mendefinisikan percepatan rata-rata  atau  sebagai perbandingan antara perubahan vektor kecepatan terhadap selang waktu yang dipakai untuk perubahan tersebut,

                                                                                                (3-8)

Percepatan sesaat di suatu titik, , didefinisikan sebagai limit percepatan rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil, , yaitu

                       

                                                                                                           (3-9)

Satuan untuk percepatan adalah satuan kecepatan/waktu yaitu ms^-2.

3.4    HUBUNGAN UMUM ANTARA POSISI, KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Untuk memudahkan pemakaiannya, secara umum hasil pembahasan di atas dapat kita rangkumkan sebagai berikut :

            Posisi               :

            Kecepatan       :

            Percepatan       :                                              (3-10)

                                              

Atau secara ringkas

                                               ;                                                (3-11)

Kecepatan rata-rata dalam selang t₁≤ t ≤ t₂ dapat diperoleh dengan menghitung perpindahan dari posisi pada t₁, , ke posisi pada t₂, , dan kemudian membaginya dengan selang waktu yang dipakai, ,

                                                                                                       (3-12)

Serupa juga untuk percepatan rata-rata,

                                                                                                      (3-13)

Sebaliknya, jika diberikan percepatan sebagai fungsi waktu kita dapat memperoleh posisi dan kecepatan benda setiap saat, asalkan posisi dan kecepatan awal diberikan, dengan cara mengintegrasikan hubungan-hubungan di atas.

                                                                                       (3-14)

Atau dalam komponen,

                                              

      ;                      ;

      ;                      ;                       (3-15)

      ;                       ;

3.5    BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN

 

                            z                                Contoh 3.1 :

           

                                                             Posisi sebuah benda yang bergerak helix (spiral)

                                                             diberikan oleh

           

                                                              meter

                                                            a. Tentukan posisi benda pada saat t=0 dan t=1/3 s.

                                                            b. Tentukan kecepatan benda pada t=0 dan t=1/3 s.

                                                            c. Tentukan percepatan benda pada t=0 dan t=1/3 s.

x         Gambar 3.3

Jawab :

a. meter

     benda berada pada sumbu x pada saat t = 0

     Pada t = 1/3 s :

             meter

b. Kecepatan benda setiap saat :

               m/s

    Jadi

              m/s

              m/s²

Contoh 3.2. :

Sebuah benda bergerak dari titik (0,1,0) dengan kecepatan  m/s

1. Tentukan posisi benda setelah 2 detik
2. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang [0,2] s

Jawab :

a.

      

       Jadi posisi benda pada t = 2 s adalah  m

b.      m/s

Contoh  3.3. :

Sebuah benda bergerak dari A ke B dengan laju tetap 6 m/s, lalu kembali dari B ke A dengan laju tetap 12 m/s melalui jalan yang sama. Tentukanlah laju rata-rata benda.

Jawab :

Waktu yang dibutuhkan dari A ke B : t_AB = , dan waktu yang dibutuhkan dari B ke A

T₌ =  Jadi laju rata-ratanya adalah :

  m/s

Contoh 3.4 :

Percepatan sebuah partikel adalah  ms^-2. Pada t = 0 detik diketahui bahwa kecepatan partikel adalah  ms^-1 dan posisinya berada di pusat koordinat,

 m.

Tentukanlah :

1. Kecepatan dan posisinya sebagai fungsi waktu;
2. Bentuk dan persamaan lintasan partikel;
3. Bila sumbu y menyatakan ketinggian, berapakah tinggi maksimum yang dicapai benda?
4. Pada jarak berapa, dihitung dari pusat, ketinggian partikel kembali nol ?

Jawab :

a.

     m/s

    Jadi                m/s

     m

   

b. Bentuk lintasan benda dapat diperoleh dengan mengeliminasi t untuk mendapatkan 

    hubungan antara y dan x.

            x = 30 t  t = x/30

           

            Persamaan ini adalah persamaan parabola.

                     y

 

                     BAB 3   KINEMATIKA I : PERUMUSAN UMUM

Bagian ilmu fisika yang mempelajari gerak benda dan pengaruh lingkungan terhadap gerak benda disebut mekanika. Bagian dari mekanika yang mempelajari gerak benda tanpa memperdulikan penyebab gerak atau bagaimana lingkungan mempengaruhi gerak tersebut disebut kinematika. Bagian yang mempelajari bagaimana pengaruh lingkungan terhadap gerak disebut dinamika.

3.1 KINEMATIKA PARTIKEL (BENDA TITIK)

Yang dimaksud dengan benda titik atau partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan terhadap skala ukuran lain yang terlihat dalam pembahasan. Misalnya, dalam meninjau gerak benda langit, bumi dapat dianggap sebagai benda titik karena ukurannya jauh lebih kecil daripada ukuran orbitnya. Gerak benda yang bukan titik dapat pula dipandang sebagai gerak benda titik asalkan benda secara keseluruhan hanya bergerak translasi saja. Setiap titik pada benda akan mengalami pergerakan yang serupa, karena itu gerak benda secara keseluruhan dapat diwakili oleh gerak salah satu titiknya saja.

3.2    POSISI DAN PERPINDAHAN

Letak sebuah partikel P dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi  yang ditarik dari suatu titik acuan O ke partikel tersebut (gambar 3.1 a). Bila di titik acuan I kita buatkan sebuah sistem koordinat (xyz), maka vektor posisi ini dapat dituliskan dalam komponen-komponennya,

                                                                                                          (3-1a)

Komponen vektor posisi sering disebut sebagai koordinat

                                                                                                       2

                                                                              z               

                        z                                                                                       

                                                                                           

                                                                                                          P

                                             P                                                         1

                                   

                          0                                         y             0                                  y

x

                                  (a)                                                          (b)

x

                                   

Gambar 3.1   Posisi dan perpindahan

Bila pertikel bergerak, posisinya berubah terus terhadap waktu. Jadi partikel yang bergerak memiliki vektor posisi yang merupakan fungsi waktu, demikian juga komponen-komponennya.

                                                                                  (3-1b)

Misalkan pada saat t₁ partikel berada di titik 1 dengan vektor posisi , dan pada saat t₂ di titik 2 dengan vektor posisi . Perpindahan partikel dalam selang waktu ini dinyatakan dengan sebuah vektor  dari titik 1 ke titik 2 (Gambar 3.1b). Vektor  ini disebut vektor perpindahan atau displacement. Dari gambar, dengan aljabar vektor, dapat ditulis :

                       

                              =

Vektor perpindahan ini tidak menceritakan gerak benda sesungguhnya; vektor ini hanya menyatakan hasil akhir perpindahan benda secara keseluruhan.

3.3    KECEPATAN RATA-RATA DAN KECEPATAN SESAAT

Vektor perpindahan juga tidak menceritakan berapa cepat benda berpindah dari titik 1 ke titik 2. Untuk melihat kecepatan berpindahnya benda, kita harus membandingkan vektor perpindahan dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut. Hasil perbandingan ini disebut kecepatan rata-rata () atau ,

                                                                                                      (3-3a)

Atau dalam komponen

                       

                               =                                                (3-3b)

Kecepatan ini disebut kecepatan rata-rata karena tidak menggambarkan kecepatan benda yang sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut.

Perlu diperhatikan bahwa kecepatan rata-rata adalah besaran vektor, karena perpindahan  adalah vektor. Benda yang beranjak dari sebuah titik dan setelah beberapa saat akhirnya kembali ke titik semula memiliki vektor perpindahan sama dengan nol, jadi juga kecepatan rata-ratanya sama dengan nol.

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih rinci mengenai gerak benda, kita harus meninjaunya dalam selang yang lebih kecil. Makin kecil selang ditinjau, makin teliti gambaran yang diperoleh. Dalam gambar 3.2a tampak bahwa bila selang waktu pengamatan dibuat kecil-kecil, maka kumpulan vektor perpindahan mendekati lintasan benda yang sesungguhnya.

                                      2                                                           2      

                        z                                                          z

 

                                                                                                 

                                                                                                               

                                         

                                                          y                                                           y

                 x                                                          x

                                         lintasan       (a)                                                        (b)

             sesungguhnya

Gambar 3.2. (a) Peninjauan dalam selang yang kecil-kecil memberikan gambaran yang

                     lebih teliti, (b) Dalam limit  menuju nol, titik 2 mendekati titik 1 dan

                     vektor  mendekati vektor singgung di titik 1.

Untuk selang waktu yang sangat kecil (→ 0) maka vektor perpindahan  mendekati garis singgung lintasan seperti ditunjukkan dalam gambar 3.2b. Panjang vektor  menjadi sangat kecil, tetapi perbandingan /  belum tentu kecil. Perbandingan ini menyatakan kecepatan rata-rata di suatu daerah kecil di sekitar titik 1. Dalam limit  menuju nol, kecepatan rata-rata ini praktis menjadi kecepatan sesaat di titik 1 dan arahnya menyinggung kurva lintasan. Karena itu didefinisikanlah kecepatan sesaat  di sebuah titik sebagai :

                                 

                                                                                                                    (3-4)

Dalam pengertian matematik, ruas kanan tidak lain daripada turunan fungsi terhadap waktu dan dapat dituliskan sebagai :

                                                                                           (3-5)

Kecepatan sesaat ini benar-benar menunjukkan keadaan gerak di sebuah titik (sifat lokal), bukan lagi rata-rata dalam suatu selang (sifat global). Karena vektor posisi merupakan fungsi waktu, , maka pada umumnya kecepatan sesaat juga merupakan fungsi waktu, dan tentu saja merupakan vektor juga. Untuk selanjutnya kecepatan sesaat hanya akan disebut kecepatan (velocity) saja.

Besar atau panjang kecepatan (sesaat) disebut laju (speed). Menurut teori vektor

                                 

                                                                                           (3-6)

Perlu ditekankan di sini bahwa laju tidaklah sama dengan kecepatan. Kecepatan adalah besaran vektor, jadi mempunyai besar dan arah, sedangkan laju adalah besaran skalar, tidak mempunyai arah.

Satu besaran lain yang sering dipakai adalah laju rata-rata <v>. Besaran ini bukan besar kecepatan rata-rata, melainkan didefinisikan sebagai :

                                                                  (3-7)

Jadi sebuah benda yang bergerak melingkar satu putaran penuh dengan jari-jari R dalam waktu T memiliki laju rata-rata , sedangkan kecepatan rata-ratanya sama dengan nol.

Satuan untuk kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat dan laju adalah panjang/waktu, yaitu ms^-1

3.4. PERCEPATAN RATA-RATA DAN PERCEPATAN SESAAT

Benda yang bergerak dengan kecepatan berubah disebut mengalami percepatan, lepas dari pengertian apakah geraknya bertambah cepat atau bertambah lambat. Karena kecepatan besaran vektor, maka perubahan kecepatan dapat menyangkut perubahan besar kecepatan (laju), perubahan arah kecepatan, ataupun kedua-duanya.

Percepatan adalah ukuran cepat-lambatnya perubahan kecepatan. Seperti halnya kecepatan, kita dapat mendefinisikan percepatan rata-rata  atau  sebagai perbandingan antara perubahan vektor kecepatan terhadap selang waktu yang dipakai untuk perubahan tersebut,

                                                                                                (3-8)

Percepatan sesaat di suatu titik, , didefinisikan sebagai limit percepatan rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil, , yaitu

                       

                                                                                                           (3-9)

Satuan untuk percepatan adalah satuan kecepatan/waktu yaitu ms^-2.

3.4    HUBUNGAN UMUM ANTARA POSISI, KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Untuk memudahkan pemakaiannya, secara umum hasil pembahasan di atas dapat kita rangkumkan sebagai berikut :

            Posisi               :

            Kecepatan       :

            Percepatan       :                                              (3-10)

                                              

Atau secara ringkas

                                               ;                                                (3-11)

Kecepatan rata-rata dalam selang t₁≤ t ≤ t₂ dapat diperoleh dengan menghitung perpindahan dari posisi pada t₁, , ke posisi pada t₂, , dan kemudian membaginya dengan selang waktu yang dipakai, ,

                                                                                                       (3-12)

Serupa juga untuk percepatan rata-rata,

                                                                                                      (3-13)

Sebaliknya, jika diberikan percepatan sebagai fungsi waktu kita dapat memperoleh posisi dan kecepatan benda setiap saat, asalkan posisi dan kecepatan awal diberikan, dengan cara mengintegrasikan hubungan-hubungan di atas.

                                                                                       (3-14)

Atau dalam komponen,

                                              

      ;                      ;

      ;                      ;                       (3-15)

      ;                       ;

3.5    BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN

 

                            z                                Contoh 3.1 :

           

                                                             Posisi sebuah benda yang bergerak helix (spiral)

                                                             diberikan oleh

           

                                                              meter

                                                            a. Tentukan posisi benda pada saat t=0 dan t=1/3 s.

                                                            b. Tentukan kecepatan benda pada t=0 dan t=1/3 s.

                                                            c. Tentukan percepatan benda pada t=0 dan t=1/3 s.

x         Gambar 3.3

Jawab :

a. meter

     benda berada pada sumbu x pada saat t = 0

     Pada t = 1/3 s :

             meter

b. Kecepatan benda setiap saat :

               m/s

    Jadi

              m/s

              m/s²

Contoh 3.2. :

Sebuah benda bergerak dari titik (0,1,0) dengan kecepatan  m/s

1. Tentukan posisi benda setelah 2 detik
2. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang [0,2] s

Jawab :

a.

      

       Jadi posisi benda pada t = 2 s adalah  m

b.      m/s

Contoh  3.3. :

Sebuah benda bergerak dari A ke B dengan laju tetap 6 m/s, lalu kembali dari B ke A dengan laju tetap 12 m/s melalui jalan yang sama. Tentukanlah laju rata-rata benda.

Jawab :

Waktu yang dibutuhkan dari A ke B : t_AB = , dan waktu yang dibutuhkan dari B ke A

T₌ =  Jadi laju rata-ratanya adalah :

  m/s

Contoh 3.4 :

Percepatan sebuah partikel adalah  ms^-2. Pada t = 0 detik diketahui bahwa kecepatan partikel adalah  ms^-1 dan posisinya berada di pusat koordinat,

 m.

Tentukanlah :

1. Kecepatan dan posisinya sebagai fungsi waktu;
2. Bentuk dan persamaan lintasan partikel;
3. Bila sumbu y menyatakan ketinggian, berapakah tinggi maksimum yang dicapai benda?
4. Pada jarak berapa, dihitung dari pusat, ketinggian partikel kembali nol ?

Jawab :

a.

     m/s

    Jadi                m/s

     m

   

b. Bentuk lintasan benda dapat diperoleh dengan mengeliminasi t untuk mendapatkan 

    hubungan antara y dan x.

            x = 30 t  t = x/30

           

            Persamaan ini adalah persamaan parabola.

                     y

 

                            

      v_y=40 m/s                               y _max

                                                                                      x

                         v_x = 30 m/s

3. Pada ketinggian maksimum, kecepatan partikel berarah horisontal.

Jadi vy = 0 = 40-10t    atau     t=4s.

Ketinggian pada saat ini adalah

             y(4) = 40(4) – 5 (4)² = 80 m

4. Ketika ketinggian partikel kembali ke nol, y (t) = 0

Maka 40t – 5t2 = 0

           5t (8-t) = 0  t = 8 s

Jarak dari titik awal adalah

             x = 30 t = 30 (8) = 240 m       

      v_y=40 m/s                               y _max

                                                                                      x

                         v_x = 30 m/s

3. Pada ketinggian maksimum, kecepatan partikel berarah horisontal.

Jadi vy = 0 = 40-10t    atau     t=4s.

Ketinggian pada saat ini adalah

             y(4) = 40(4) – 5 (4)² = 80 m

4. Ketika ketinggian partikel kembali ke nol, y (t) = 0

Maka 40t – 5t2 = 0

           5t (8-t) = 0  t = 8 s

Jarak dari titik awal adalah

             x = 30 t = 30 (8) = 240 m